Найдите периметр правильного треугольника, если центр описанной около него окружности удален от хорды, равной 2, на расстояние 3.

Чтобы найти периметр правильного треугольника, воспользуемся следующим рассуждением.

Дано:

1. Хорда окружности равна $AB = 2$.
2. Расстояние от центра окружности $O$ до хорды равно $d = 3$.

Шаг 1: Связь правильного треугольника и его описанной окружности

У правильного треугольника:

• Центр описанной окружности совпадает с центроидом, поскольку окружность симметрична относительно всех медиан.
• Радиус окружности $R$ можно выразить через сторону треугольника $a$ по формуле: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ где $R$ — радиус описанной окружности, $a$ — сторона треугольника.

Шаг 2: Геометрические соотношения для хорды

Хорда $AB$ с длиной 2 располагается на расстоянии $d = 3$ от центра $O$ окружности. Радиус $R$, центр окружности $O$, хорда $AB$, и расстояние $d$ связаны следующим соотношением:

Подставим известные значения $d = 3$ и $AB = 2$:

Шаг 3: Найдем сторону треугольника $a$

Используем ранее указанную формулу $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$:

Шаг 4: Найдем периметр треугольника

Периметр правильного треугольника равен:

Подставляем значение $a$:

Ответ:

Периметр правильного треугольника равен $3\sqrt{30}$.