В треугольнике ABC стороны AB и BC равны соответственно 14 и 18 см. Сторона AB продолжена за точку A на отрезок AM, равный AB. Сторона BC продолжена за точку C на отрезок KC, равный половине BC. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 126 см (квадратных).

Для решения задачи, давайте сначала разберемся с геометрическими свойствами и взаимосвязями между треугольниками.

1. Дано:

   • Треугольник ABC, стороны AB = 14 см, BC = 18 см, площадь треугольника ABC равна 126 см².
   • Отрезок AM продлен за точку A, и AM = AB = 14 см.
   • Отрезок KC продлен за точку C, и KC = 1/2 BC = 9 см.

2. Найдем высоту треугольника ABC. Площадь треугольника ABC выражается через основание BC и высоту $h_A$, проведенную к этой стороне:

   $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A.$$

   Подставим известные значения:

   $$126 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot h_A.$$

   Умножив обе стороны уравнения на 2:

   $$252 = 18 \cdot h_A.$$

   Найдем высоту $h_A$:

   $$h_A = \frac{252}{18} = 14 \text{ см}.$$

   Итак, высота треугольника ABC, опущенная на сторону BC, равна 14 см.

3. Теперь построим треугольник MBK:

   • Точка M лежит на продолжении стороны AB, и AM = AB = 14 см, следовательно, длина отрезка MB равна $MB = AB + AM = 14 + 14 = 28$ см.
   • Точка K лежит на продолжении стороны BC, и KC = 9 см, следовательно, длина отрезка BK равна $BK = BC + KC = 18 + 9 = 27$ см.

4. Теперь рассмотрим треугольник MBK. Заметим, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC по углу B, поскольку отрезки AM и KC продолжаются в тех же направлениях, что и стороны AB и BC.

   Коэффициент подобия $k$ между треугольниками MBK и ABC можно найти через отношение сторон MB и AB:

   $$k = \frac{MB}{AB} = \frac{28}{14} = 2.$$

   Поскольку площадь подобного треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия, площадь треугольника MBK будет в $k^2 = 2^2 = 4$ раза больше площади треугольника ABC.

5. Найдем площадь треугольника MBK:

   $$S_{MBK} = S_{ABC} \cdot 4 = 126 \cdot 4 = 504 \text{ см²}.$$

Таким образом, площадь треугольника MBK равна 504 см².