Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, AC:BD=3:2, OE перпендикулярен AB.Площадь треугольника

Ответы на вопрос

Отвечает Цар Надія.

Для решения задачи найдем площадь ромба, используя данные о его диагоналях и площади треугольника $\triangle AEO$ .

Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ , причем:

Пусть длины диагоналей $AC$ и $BD$ равны $d_1$ и $d_2$ соответственно. Тогда:

AO = \frac{d_1}{2}, \quad BO = \frac{d_2}{2}.

Дано, что $AC:BD = 3:2$ . Это означает:

\frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{2}, \quad d_1 = \frac{3}{2}d_2.

Площадь ромба $S_{\text{ромб}}$ можно выразить через диагонали:

S_{\text{ромб}} = \frac{1}{2} d_1 d_2.

Площадь треугольника $\triangle AEO$ равна:

S_{\triangle AEO} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OE.

Где:

AO = \frac{d_1}{2}.

Подставим:

27 = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot OE.

Упростим:

27 = \frac{d_1}{4} \cdot OE, \quad OE = \frac{108}{d_1}.

Из пропорции $d_1 = \frac{3}{2}d_2$ , подставим $d_1$ в формулу площади ромба:

S_{\text{ромб}} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}d_2 \cdot d_2 = \frac{3}{4} d_2^2.

Рассмотрим длину $OE$ из предыдущих выражений. Подставим $d_1 = \frac{3}{2}d_2$ в формулу для $OE$ :

OE = \frac{108}{d_1} = \frac{108}{\frac{3}{2}d_2} = \frac{72}{d_2}.

Теперь подставим значения в площадь треугольника:

27 = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot OE = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3}{2}d_2}{2} \cdot \frac{72}{d_2}.

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, AC:BD=3:2, OE перпендикулярен AB.Площадь треугольника AEO равна 27 кв. см. Найдите площадь ромба