На рисунке изображён ∆QRP, в нем RO – высота и медиана треугольника QRP, сторона QR = RP = 1,4QO. Укажите, чему равна сторона RP, если сторона QP = 12 см.

Для того чтобы решить эту задачу, давайте разберем все данные и отношения, представленные в условии.

1. Треугольник ∆QRP: Из условия видно, что в этом треугольнике высота RO является также медианой, то есть отрезком, который делит сторону QP пополам. Также известно, что стороны QR и RP равны и составляют 1,4 длины отрезка QO (высоты).

2. Сторона QP: У нас дана длина стороны QP, которая равна 12 см. Это важная информация, так как медиана RO делит сторону QP пополам, а значит, каждая из двух частей стороны QP равна 6 см.

3. Высота и медиана RO: Поскольку RO является и высотой, и медианой, то она пересекает сторону QP в ее середине и перпендикулярна ей. Это означает, что RO делит треугольник на два прямоугольных треугольника.

4. Соотношение сторон QR, RP и QO: Стороны QR и RP равны и составляют 1,4 длины отрезка QO. То есть, если обозначить длину высоты QO как x, то длина сторон QR и RP будет равна 1,4x.

5. Использование теоремы Пифагора: В данном случае мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой RO и половинами стороны QP. Пусть половина стороны QP будет 6 см, высота RO — x, и сторона QR = RP = 1,4x.

6. Решение уравнения:

   • Используем теорему Пифагора в треугольнике QOR (прямоугольный треугольник с гипотенузой QR и катетами RO и половиной QP):
   $$QR^2 = RO^2 + OQ^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$(1,4x)^2 = x^2 + 6^2$$ $$1,96x^2 = x^2 + 36$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$1,96x^2 - x^2 = 36$$ $$0,96x^2 = 36$$

   Разделим обе стороны на 0,96:

   $$x^2 = \frac{36}{0,96} = 37,5$$ $$x = \sqrt{37,5} \approx 6,12 \, \text{см}$$

7. Вычисление стороны RP: Теперь, зная длину высоты RO (x ≈ 6,12 см), мы можем найти длину стороны RP, которая равна 1,4x:

   $$RP = 1,4 \times 6,12 \approx 8,57 \, \text{см}$$

Таким образом, сторона RP примерно равна 8,57 см.