1. Точки А, В, С и Д не лежат в одной плоскости, точки K, L, M и N – середины отрезков АД, ДС, ВС и АВ соответственно. Найдите градусную меру угла LMN, если АС = ВД = 2LN.
2.Прямая а параллельна плоскости β. Укажите, сколько в плоскости β существует прямых, параллельных прямой а ?

Задача 1

У нас есть четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$, которые не лежат в одной плоскости, что означает, что они образуют тетраэдр. Даны также точки $K$, $L$, $M$ и $N$, которые являются серединами отрезков $AD$, $DC$, $BC$ и $AB$ соответственно. Нужно найти угол $\angle LMN$, зная, что $AC = BD = 2LN$.

Шаги решения

1. Понять, что значит условие $AC = BD = 2LN$.
   Сначала рассмотрим, что означает это условие. Если $AC$ и $BD$ равны и в два раза больше $LN$, это указывает на то, что $LN$ — это средняя линия в одном из треугольников, образованных вершинами тетраэдра.

2. Средние линии в тетраэдре.
   Поскольку $K$, $L$, $M$, и $N$ — середины отрезков тетраэдра, отрезок $LN$ является средней линией треугольника $ABD$. Согласно свойству средней линии, $LN$ параллелен $AC$ и равен половине $AC$ (по условию, это соответствует $AC = 2LN$). Значит, $LN \parallel AC$.

3. Рассмотрение других отрезков.
   Аналогично, $KM$ является средней линией для треугольника $BCD$, поэтому $KM \parallel BD$. Отрезок $KM$ также равен половине $BD$, а так как $BD = 2LN$, то $KM = LN$.

4. Определение угла $\angle LMN$.
   Теперь, когда мы знаем, что $KM = LN$ и что $LN$ параллелен $AC$, а $KM \parallel BD$, можно сделать вывод, что отрезки $KM$ и $LN$ параллельны друг другу. Поскольку $KM$ и $LN$ — средние линии, они лежат в одной плоскости и являются параллельными отрезками, равными по длине.

   Из этого следует, что угол между этими параллельными отрезками равен $0^\circ$.

Ответ: Угол $\angle LMN = 0^\circ$.

Задача 2

Нам дано, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$. Нужно определить, сколько прямых в плоскости $\beta$ могут быть параллельны прямой $a$.

Решение

1. Понять условие параллельности.
   Прямая $a$ параллельна всей плоскости $\beta$, что значит, что она не пересекает плоскость $\beta$, но не лежит в ней.

2. Определение параллельных прямых в плоскости.
   Любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$, будет либо параллельна, либо не параллельна данной прямой $a$. Однако условие параллельности к плоскости означает, что все прямые в плоскости $\beta$, идущие в одном направлении, параллельны прямой $a$.

3. Вывод.
   В плоскости $\beta$ можно провести бесконечно много прямых, которые будут параллельны прямой $a$, поскольку любое направление, параллельное $a$, допускает бесконечное количество прямых в плоскости.

Ответ: В плоскости $\beta$ существует бесконечно много прямых, параллельных прямой $a$.