Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК параллельно АС, ВМ : АМ=1:4. Найдите периметр треугольника ВМК, если известно что периметр треугольника АВС равен 25 см.

Для того чтобы найти периметр треугольника $ВМК$, нужно сначала понять, как соотносятся элементы исходного треугольника $АВС$ и нового треугольника $ВМК$, образованного прямой, пересекающей стороны $АС$ и $АВ$.

1. Параллельность отрезков: Нам известно, что прямая пересекает стороны треугольника в точках $М$ и $К$, причем отрезок $МК$ параллелен стороне $АС$. Это означает, что треугольники $ВМК$ и $АВС$ подобны по признаку параллельных сторон.

2. Пропорции между подобными треугольниками: Из условия $ВМ : АМ = 1 : 4$ следует, что отрезок $ВМ$ в 4 раза короче отрезка $АМ$. Поскольку треугольники подобны, все соответствующие стороны будут пропорциональны, и коэффициент подобия будет равен $\frac{1}{5}$. Это можно получить из отношения сторон: если $ВМ : АМ = 1 : 4$, то весь отрезок $АВ$ будет в 5 раз больше отрезка $ВМ$.

3. Периметр треугольника $АВС$: Периметр треугольника $АВС$ равен 25 см. Поскольку треугольники подобны, периметр треугольника $ВМК$ будет пропорционален периметру треугольника $АВС$ с коэффициентом $\frac{1}{5}$. То есть, периметр треугольника $ВМК$ составит:

   $$P_{ВМК} = \frac{1}{5} \times P_{АВС} = \frac{1}{5} \times 25 = 5 \text{ см}.$$

Таким образом, периметр треугольника $ВМК$ равен 5 см.