Докажите что если в параллелограмме диагонали равны то параллелограмм является прямоугольником

Для того чтобы доказать, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником, воспользуемся свойствами параллелограмма и геометрией.

Шаг 1: Вспомним основные свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
2. Диагонали параллелограмма в общем случае не равны.
3. Диагонали параллелограмма пересекаются в их срединных точках (т.е. точка пересечения диагоналей является их серединой).

Шаг 2: Условие равенства диагоналей

Предположим, что в параллелограмме диагонали равны. Пусть параллелограмм $ABCD$, где диагонали $AC$ и $BD$ равны по длине, то есть:

Шаг 3: Свойства диагоналей параллелограмма

Как уже было сказано, диагонали параллелограмма пересекаются в их срединных точках. Обозначим точку их пересечения как $O$. Тогда:

Поскольку $AC = BD$, то в треугольниках $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ выполняются следующие условия:

1. $OA = OC$ (половины диагонали $AC$),
2. $OB = OD$ (половины диагонали $BD$),
3. Общая сторона $AB = CD$ (по свойству параллелограмма).

Таким образом, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ являются равными по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними). Это значит, что углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны.

Шаг 4: Прямой угол

Теперь, заметим, что в любом параллелограмме, если диагонали равны, то углы, которые они образуют, должны быть прямыми. Это можно доказать следующим образом: так как диагонали пересекаются, и угол между ними одинаков в обеих параллельных параллельных частях, угол между диагоналями должен быть прямым, иначе диагонали не могут быть равными.

Кроме того, если бы угол между диагоналями был ненулевым, то длины диагоналей не могли бы быть одинаковыми, потому что в таком случае угол отклонял бы одну из диагоналей, делая ее длину больше или меньше другой.

Шаг 5: Заключение

Поскольку угол между диагоналями оказывается прямым, то параллелограмм, в котором диагонали равны, должен быть прямоугольником. Это доказывает, что параллелограмм с равными диагоналями — это прямоугольник.