Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. найдите объем пирамиды

Для того чтобы найти объем правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу для объема пирамиды:

где:

• $V$ — объем пирамиды,
• $S_{\text{осн}}$ — площадь основания,
• $h$ — высота пирамиды.

Шаг 1: Найдем площадь основания

Основание правильной шестиугольной пирамиды — это правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

где $a$ — длина стороны шестиугольника. В задаче указано, что сторона основания равна 2, то есть $a = 2$.

Подставляем значение в формулу:

Таким образом, площадь основания $S_{\text{осн}} = 6\sqrt{3}$.

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, воспользуемся треугольником, который образуют боковое ребро пирамиды, высота и радиус описанной окружности основания. Боковое ребро пирамиды равно 4, а радиус описанной окружности для правильного шестиугольника равен длине стороны, то есть 2.

Для нахождения высоты используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза — это боковое ребро пирамиды (4), один катет — это радиус основания (2), а второй катет — это высота пирамиды $h$.

Применяем теорему Пифагора:

Таким образом, высота пирамиды $h = 2\sqrt{3}$.

Шаг 3: Найдем объем пирамиды

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем пирамиды. Подставляем данные в формулу для объема:

Упрощаем выражение:

Ответ: объем пирамиды равен 12 кубических единиц.