В треугольнике abc проведена биссектриса bk.Угол a=75°,угол c=35°
а)Докажите что треугольник bdc-равнобедренный
б)Сравните отрезки ad и dc

Для того чтобы решить поставленные задачи, давайте внимательно рассмотрим треугольник ABC и все данные. Важно отметить, что биссектрисы и углы дают нам ключевые свойства, которые будут полезны для решения.

Условия задачи:

• В треугольнике ABC проведена биссектриса BK.
• Угол $A = 75^\circ$, угол $C = 35^\circ$.
• Требуется доказать, что треугольник BDC равнобедренный, а также сравнить отрезки AD и DC.

Шаг 1: Найдем угол $B$

Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, мы можем найти угол $B$:

Теперь у нас есть все углы треугольника ABC: $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $\angle C = 35^\circ$.

Шаг 2: Свойства биссектрисы

Биссектрисы треугольника делят углы пополам. То есть биссектрисой BK угол $\angle B$ делится на два равных угла. Поскольку $\angle B = 70^\circ$, то каждый из углов, образованных биссектрисой, будет равен:

Также, поскольку биссектриса делит угол $\angle B$ пополам, можно сказать, что биссектрисы $BK$ и $CK$ делят угол $\angle BKC$ на два равных угла.

Шаг 3: Доказательство того, что треугольник BDC — равнобедренный

Чтобы доказать, что треугольник BDC равнобедренный, нужно показать, что отрезки BD и DC равны.

• Мы знаем, что $BK$ — биссектриса угла $\angle B$, а значит, она делит угол $\angle B$ на два равных угла.
• Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону (в данном случае BC) пропорционально сторонам треугольника, что означает, что отрезки BD и DC имеют одинаковую длину, потому что угол $\angle BDC$ является внутренним углом для равнобедренного треугольника.

Следовательно, треугольник $BDC$ является равнобедренным, так как $BD = DC$.

Шаг 4: Сравнение отрезков AD и DC

Теперь перейдем ко второй части задачи — сравнению отрезков AD и DC. Мы можем использовать теорему о биссектрисе, которая гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин двух других сторон. В нашем случае:

Поскольку мы знаем, что угол $A = 75^\circ$ и угол $C = 35^\circ$, а также угол $B = 70^\circ$, можно заметить, что стороны треугольника тоже могут быть соотношены через углы. Однако для точного числового сравнения нам нужно больше данных о длинах сторон. Но можно сделать вывод, что:

• Если стороны $AB$ и $BC$ равны, то отрезки $AD$ и $DC$ будут равны.
• Если $AB \neq BC$, то отрезок $AD$ будет больше или меньше $DC$, в зависимости от того, какая сторона больше.

Таким образом, точное сравнение отрезков AD и DC зависит от соотношения длин сторон треугольника, но всегда выполняется отношение, как указано выше, через теорему о биссектрисе.