Середины сторон треугольника abc имеют координаты m (3; -2; -4) n (-6; 4; -10) k (-7; 2; -12). Найдите координаты вершин треугольника abc

Для решения задачи, давайте рассмотрим, что дано:

• $M(3; -2; -4)$, $N(-6; 4; -10)$, и $K(-7; 2; -12)$ — это середины сторон треугольника $ABC$.
• Задача — найти координаты вершин $A$, $B$ и $C$ этого треугольника.

Шаг 1. Формулировка уравнений

По условию, точки $M$, $N$, и $K$ — это середины сторон треугольника $ABC$. Напомним, что координаты середины отрезка можно выразить как среднее арифметическое координат его концов.

Пусть $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$ и $C(x_C; y_C; z_C)$ — это координаты вершин треугольника.

Для каждой из середины у нас есть следующее уравнение:

1. Координаты середины отрезка $AB$ равны $M(3; -2; -4)$, то есть:

   $$M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) = (3; -2; -4)$$

   Это дает систему уравнений:

   $$\frac{x_A + x_B}{2} = 3, \quad \frac{y_A + y_B}{2} = -2, \quad \frac{z_A + z_B}{2} = -4$$

   Умножим каждое уравнение на 2:

   $$x_A + x_B = 6, \quad y_A + y_B = -4, \quad z_A + z_B = -8$$

2. Координаты середины отрезка $BC$ равны $N(-6; 4; -10)$, то есть:

   $$N = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right) = (-6; 4; -10)$$

   Это дает систему уравнений:

   $$\frac{x_B + x_C}{2} = -6, \quad \frac{y_B + y_C}{2} = 4, \quad \frac{z_B + z_C}{2} = -10$$

   Умножим каждое уравнение на 2:

   $$x_B + x_C = -12, \quad y_B + y_C = 8, \quad z_B + z_C = -20$$