В треуг. PTM вписана окр. Точка касание A со стороной TM делит ее на отрезки TA = 4 и АМ = 7, сторона РТ равна 14. Найдите длину стороны РМ

Для решения задачи давайте внимательно разберемся с условиями:

У нас есть треугольник $PTM$, в котором вписана окружность. Точка касания окружности с стороной $TM$ делит её на два отрезка $TA = 4$ и $AM = 7$. Также известно, что сторона $PT = 14$.

Важный момент: при касании окружности с треугольником отрезки, на которые делится сторона касания, равны соответствующим отрезкам на других сторонах треугольника, которые также касаются окружности. Это свойство связано с теоремой о касательных.

Шаг 1. Обозначение и использование теоремы о касательных

Пусть точка касания окружности с треугольником $PTM$ делит сторону $TM$ на отрезки $TA = 4$ и $AM = 7$, значит, длина всей стороны $TM$ будет:

Кроме того, из теоремы о касательных к окружности известно, что отрезки, которые соединяют вершины треугольника с точками касания окружности, равны между собой. Это означает, что длины отрезков, образованных касаниями окружности с сторонами $PT$ и $PM$, будут одинаковыми.

Пусть точка касания окружности с стороной $PT$ делит её на отрезки $PT = 14$, и пусть длины касательных от точек $P$ и $T$ равны $p$ и $q$ соответственно. Тогда по теореме о касательных:

Обозначим длину отрезка $PM$, которая и требуется найти, как $x$.