(1) В равнобедренном треуг. АВС с основанием АС проведены медианы АЕ и СD. Докажите, что а) треуг. АВЕ = СВD; б) треуг. DOE и треу. АОС - равнобедренные, где О - точка пересечения АЕ и CD; в) ОВ - биссектриса угла DOE.

(2) треуг. АВС = DEF. Оба равнобедренные. Найти периметр АВС, если DE - 4см; EF - 5см


Спасибо большое! p.s. 7 математический класс

Задача 1. (Треугольник АВС)

1.1. Часть а) — Доказать, что треугольники АВЕ и СВД равны.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены медианы АЕ и СD. Нужно доказать, что треугольники АВЕ и СВД равны.

Доказательство:

1. Треугольник АВС — равнобедренный, значит, стороны AB = BC.
2. Медианы АЕ и СD делят основание АС пополам, то есть $AE = EC$ и $CD = DA$.
3. Из симметрии треугольника АВС следует, что угол ABE равен углу CDE (так как углы при основании равнобедренного треугольника одинаковы).
4. Медианы АЕ и СD пересекаются в точке O, и так как они равны, то они делят друг друга пополам. То есть $OE = OD$.
5. Таким образом, по признаку равенства треугольников (сторона-угол-сторона, или S-A-S) можно утверждать, что треугольники АВЕ и СВД равны, так как у них совпадают все стороны и углы (AB = BC, AE = CD, угол ABE = угол CDE).

Следовательно, треугольники АВЕ и СВД равны.

1.2. Часть б) — Треугольники DOE и АОС равнобедренные.

Теперь необходимо доказать, что треугольники DOE и АОС — равнобедренные.

Доказательство:

1. Мы уже доказали, что медианы АЕ и СD равны между собой и пересекаются в точке O.
2. Поскольку треугольник АВС — равнобедренный, то медианы АЕ и СD также являются осевыми и делят углы, образующиеся при основании АС.
3. Треугольники DOE и АОС имеют общую сторону (ОС) и одинаковые углы при вершинах O (так как они являются углами между равными медианами).
4. Следовательно, треугольники DOE и АОС равнобедренные, так как у них есть две одинаковые стороны (ОД и ОС) и одинаковые углы.

1.3. Часть в) — ОВ — биссектриса угла DOE.

Теперь покажем, что отрезок ОВ является биссектрисой угла DOE.

Доказательство:

1. Мы знаем, что треугольники АВЕ и СВД равны, а значит, угол АВЕ равен углу СВД.
2. Медиана АЕ делит угол A между сторонами AB и AC пополам, аналогично медиана CD делит угол C между BC и AC пополам.
3. Точка O, в которой пересекаются медианы, является точкой симметрии, которая должна делить угол между медианами на две равные части.
4. Таким образом, отрезок ОВ будет делить угол DOE пополам, являясь его биссектрисой.

Задача 2. (Треугольники АВС и DEF)

Теперь рассмотрим второй вопрос, в котором даны два равнобедренных треугольника АВС и DEF, и требуется найти периметр треугольника АВС, если DE = 4 см, а EF = 5 см.

Решение:

1. Так как треугольники АВС и DEF равнобедренные, то у них одинаковые формы, а значит, их стороны можно связать пропорциями.
2. Пусть в треугольнике АВС основание AC равно основанию DF, то есть $AC = DF$, а также стороны AB и BC равны между собой.
3. Мы знаем, что $DE = 4$ см и $EF = 5$ см, и так как треугольник DEF равнобедренный, его стороны DE и DF равны. Таким образом, DF = 4 см.
4. Поскольку треугольник АВС имеет аналогичные пропорции с треугольником DEF, можно сказать, что стороны AB и BC также равны 4 см.
5. Теперь, зная длину основания AC и сторону AB, можем найти периметр треугольника АВС. Поскольку треугольник АВС равнобедренный, его периметр будет равен: $$P_{АВС} = AB + BC + AC = 4 + 4 + 4 = 12 \, \text{см}.$$

Таким образом, периметр треугольника АВС равен 12 см.

Надеюсь, что ответ вам помог! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.