Найти высоту правильной шестиугольной пирамиды,если сторона основания а, апофема L

Для нахождения высоты правильной шестиугольной пирамиды, если дана сторона основания $a$ и апофема $L$, нужно выполнить несколько шагов. Разберём это пошагово.

Шаг 1: Понять геометрическую структуру

Правильная шестиугольная пирамида состоит из шести равнобедренных треугольников, которые сходятся в вершине. Основание пирамиды — это правильный шестиугольник, у которого все стороны равны.

• $a$ — длина стороны основания (сторона шестиугольника).
• $L$ — апофема, которая представляет собой расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания. Апофема является высотой каждого из треугольников, образующих боковые грани пирамиды.

Шаг 2: Вычислить радиус окружности, вписанной в основание

Рассмотрим правильный шестиугольник, который является основанием пирамиды. Радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник, равен расстоянию от центра шестиугольника до середины любой его стороны. Для правильного шестиугольника радиус $R$ можно найти через сторону $a$ по формуле:

(так как радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен его стороне).

Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник

Высота пирамиды $h$ образует прямоугольный треугольник с апофемой $L$ и радиусом $R$ основания. Этот треугольник можно рассматривать как прямоугольный, где:

• одна катета — это радиус основания $R$,
• другой катет — это искомая высота пирамиды $h$,
• гипотенуза — это апофема $L$.

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды $h$:

Подставляем $R = a$, получаем:

Решаем относительно $h$:

Ответ:

Высота правильной шестиугольной пирамиды $h$ выражается через сторону основания $a$ и апофему $L$ по формуле: