Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками серидины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Задача заключается в доказательстве того, что если соединить отрезками середины сторон правильного шестиугольника, то получится снова правильный шестиугольник.

1. Начальные данные

Предположим, что у нас есть правильный шестиугольник, который обозначим как $ABCDEF$. Это означает, что все его стороны равны между собой, а все углы равны 120 градусам.

2. Середины сторон шестиугольника

Обозначим середины сторон шестиугольника как $M_A$, $M_B$, $M_C$, $M_D$, $M_E$, и $M_F$, где:

• $M_A$ — середина отрезка $AB$,
• $M_B$ — середина отрезка $BC$,
• $M_C$ — середина отрезка $CD$,
• $M_D$ — середина отрезка $DE$,
• $M_E$ — середина отрезка $EF$,
• $M_F$ — середина отрезка $FA$.

Теперь мы будем соединять эти середины, то есть соединяем отрезками точки $M_A$ с $M_B$, $M_B$ с $M_C$, и так далее.

3. Проверим, что полученный многоугольник правильный

3.1. Все стороны полученного многоугольника равны

Поскольку шестиугольник правильный, его стороны равны, и углы между ними равны 120°. Это означает, что шестиугольник симметричен относительно своих осей, и его центры сторон лежат на одной окружности.

Так как мы соединяем середины сторон, то новый многоугольник будет иметь одинаковые стороны. Это можно понять из того, что все отрезки между серединами сторон шестиугольника будут одинаковыми по длине благодаря симметрии фигуры и равенству расстояний от центра шестиугольника до его сторон.

3.2. Все углы между сторонами нового многоугольника равны 120°

Поскольку в правильном шестиугольнике углы между соседними сторонами равны 120°, то углы, которые образуют отрезки, соединяющие середины сторон, также будут равными. Это также связано с симметрией правильного шестиугольника.

Каждый угол между двумя соседними отрезками, соединяющими середины сторон, будет составлять 120°. Это можно доказать через теорему о поворотах и симметриях правильных многоугольников, так как мы фактически создаём новый многоугольник, вращая исходный шестиугольник на 120° относительно его центра.

3.3. Все углы между соседними сторонами нового многоугольника равны

Для углов, которые образуются на пересечении отрезков, соединяющих середины сторон, можно также применить концепцию симметрии. Эти углы также будут равны 120° по аналогии с углами в исходном правильном шестиугольнике.

4. Заключение

Таким образом, мы доказали, что при соединении отрезками середины сторон правильного шестиугольника, получается новый правильный шестиугольник. Все его стороны равны, а углы между сторонами также равны 120°.