Помоги срочно до завтра ( с решением )
пожалуйста : Дан куб АВСDА1В1С1D1. Точка М – середина В1С1, точка К – середина DС. О – точка пересечения диагоналей грани АВСD. Найдите углы между прямыми А1М и ВК, А1D и АС.

Для решения задачи, нужно использовать геометрические принципы и знания о пространственных углах между прямыми.

Шаг 1: Понимание геометрической фигуры

• У нас есть куб с вершинами A, B, C, D, A1, B1, C1, D1. Обозначим его так, чтобы в пространстве куб лежал с углами 90°, а его ребра имели одинаковую длину (пусть длина ребра куба будет a).
• Точка М – середина отрезка B1C1. Точка К – середина отрезка DC.
• Точка О – точка пересечения диагоналей грани ABCD. Она будет середина этой диагонали, то есть точка пересечения диагоналей квадрата на грани.

Теперь, чтобы решить задачу, нужно вычислить углы между прямыми, которые указаны в вопросе: А1М и ВК, А1D и АС.

Шаг 2: Координатная система

Для простоты введем декартову координатную систему с началом в точке A. Пусть все ребра куба имеют длину a.

• A = (0, 0, 0)
• B = (a, 0, 0)
• C = (a, a, 0)
• D = (0, a, 0)
• A1 = (0, 0, a)
• B1 = (a, 0, a)
• C1 = (a, a, a)
• D1 = (0, a, a)

Теперь находим координаты точек М и К:

• М – середина отрезка B1C1, поэтому координаты М:
  $M = \left( \frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{a + a}{2} \right) = (a, \frac{a}{2}, a)$

• К – середина отрезка DC, поэтому координаты К:
  $K = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{a + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, a, 0 \right)$

Шаг 3: Вычисление углов между прямыми

1. Угол между прямыми A1M и BK:

Для нахождения угла между двумя прямыми, можно использовать скалярное произведение их направляющих векторов. Направляющие векторы для этих прямых можно найти, вычитая координаты начальной точки из конечной.

• Направляющий вектор для A1M:
  $\overrightarrow{A1M} = M - A1 = (a, \frac{a}{2}, a) - (0, 0, a) = (a, \frac{a}{2}, 0)$

• Направляющий вектор для BK:
  $\overrightarrow{BK} = K - B = \left( \frac{a}{2}, a, 0 \right) - (a, 0, 0) = \left( -\frac{a}{2}, a, 0 \right)$

Теперь находим скалярное произведение этих векторов:

Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что прямые A1M и BK перпендикулярны, то есть угол между ними 90°.

2. Угол между прямыми A1D и AC:

Аналогично, находим направляющие векторы для этих прямых.

• Направляющий вектор для A1D:
  $\overrightarrow{A1D} = D - A1 = (0, a, 0) - (0, 0, a) = (0, a, -a)$

• Направляющий вектор для AC:
  $\overrightarrow{AC} = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)$

Теперь находим скалярное произведение этих векторов:

Далее, находим модули этих векторов: