В равнобедренный треугольник с боковой стороной 15см и периметром 54см вписана окружность. найдите радиус этой окружности

Для того чтобы найти радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник, нужно использовать несколько формул и данных, которые даны в задаче.

1. Найдем основание треугольника.
   Из условия периметр равнобедренного треугольника равен 54 см, а боковая сторона (которая равна двум сторонам) составляет 15 см. Пусть основание треугольника обозначим за $b$. Тогда периметр $P$ равен сумме всех сторон треугольника:

   $$P = 2a + b$$

   Где $a$ — боковая сторона треугольника. Подставляем известные значения:

   $$54 = 2 \times 15 + b$$ $$54 = 30 + b$$ $$b = 54 - 30 = 24$$

   Таким образом, основание треугольника $b = 24$ см.

2. Найдем полупериметр.
   Полупериметр $p$ равен половине периметра:

   $$p = \frac{P}{2} = \frac{54}{2} = 27$$

3. Найдем площадь треугольника.
   Для вычисления площади треугольника используем формулу Герона:

   $$S = \sqrt{p(p - a)(p - a)(p - b)}$$

   Где $a = 15$ см и $b = 24$ см, а $p = 27$ см. Подставляем значения:

   $$S = \sqrt{27(27 - 15)(27 - 15)(27 - 24)} = \sqrt{27 \times 12 \times 12 \times 3}$$ $$S = \sqrt{27 \times 144 \times 3} = \sqrt{11664} = 108$$

   Таким образом, площадь треугольника $S = 108$ см².

4. Найдем радиус вписанной окружности.
   Радиус $r$ вписанной окружности можно найти по формуле:

   $$r = \frac{S}{p}$$

   Подставляем найденные значения площади и полупериметра:

   $$r = \frac{108}{27} = 4$$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 4 см.