В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон АВ и ВС в точках М и Н. Найдите 1) сторону АС 2) угол ВАС 3) радиус описаной около треугольника АВС окружности

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$, в который вписана окружность. Пусть окружность касается сторон $AB$, $BC$, и $AC$ в точках $M$, $N$, и $P$, соответственно. Нам нужно найти:

1. Сторону $AC$,
2. Угол $\angle BAC$,
3. Радиус описанной окружности $R$ вокруг $\triangle ABC$.

Обозначим длины сторон треугольника:

• $AB = BC = a$ (равнобедренный треугольник),
• $AC = b$ (основание),
• $p = \frac{a + a + b}{2} = a + \frac{b}{2}$ — полупериметр треугольника.

Шаг 1: Найдем сторону $AC = b$

Радиус вписанной окружности $r$ выражается через площадь треугольника $S$ и полупериметр $p$ как:

Площадь треугольника $S$ можно выразить как:

Также $S$ для треугольника можно записать через его стороны с использованием формулы Герона:

Подставим $p = a + \frac{b}{2}$ в формулу Герона и приравняем к $r \cdot p$, чтобы найти выражение для $b$. Это уравнение можно решить при заданных $r$ и $a$, если они известны.

Шаг 2: Найдем угол $\angle BAC$

В равнобедренном треугольнике угол при вершине $B$, обозначенный как $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$, а угол при основании $\angle BAC = \beta$. Связь углов определяется как:

Если известны радиус вписанной окружности $r$ и сторона $a$, угол $\beta$ можно найти через свойства вписанной окружности. Радиус вписанной окружности связан с высотой треугольника, проведенной к основанию, а высота выражается через углы.

Формула:

Решив это уравнение, можно найти угол $\beta = \angle BAC$.

Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности $R$

Радиус описанной окружности $R$ связан со сторонами треугольника и углом $\angle BAC = \beta$ следующим образом:

Если угол $\beta$ найден, подставляем его значение в формулу.

Итоговая последовательность:

1. Подставьте известные данные (длину $a$, радиус $r$) для нахождения $b$ через формулу площади.
2. Вычислите $\angle BAC = \beta$, используя $\cot \frac{\beta}{2} = \frac{a}{2r}$.
3. Найдите $R$, применяя $R = \frac{a}{2 \sin \beta}$.

Эти шаги позволяют решить задачу полностью. Если даны конкретные числа, можно подставить их для численного решения.