Помогите с геометрией. В параллелограмм с периметром 8 корней из 3см и углом 150 градусов вписана окружность. найдите её радиус.

Для решения задачи, в которой требуется найти радиус вписанной окружности в параллелограмм с заданными параметрами, воспользуемся несколькими геометрическими свойствами.

Дано:

• Параллелограмм с периметром $8\sqrt{3}$ см.
• Угол между соседними сторонами параллелограмма $150^\circ$.
• В параллелограмм вписана окружность, что означает, что параллелограмм является так называемым циркулезным (его стороны касаются окружности).

Шаг 1. Свойства параллелограмма с вписанной окружностью

Для параллелограмма, в который можно вписать окружность, выполняется следующее условие: сумма противоположных сторон параллелограмма должна быть равна. То есть, если стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, то:

Отсюда:

Шаг 2. Формула для радиуса вписанной окружности

Для параллелограмма радиус вписанной окружности $r$ можно вычислить по формуле:

где:

• $S$ — площадь параллелограмма,
• $P$ — периметр параллелограмма.

Шаг 3. Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно вычислить через его стороны и угол между ними:

где $a$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $\alpha$ — угол между ними. В данном случае угол $\alpha = 150^\circ$. Поскольку $\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

Шаг 4. Выражение периметра через стороны

Периметр параллелограмма $P$ равен:

Итак, $a + b = 4\sqrt{3}$.

Шаг 5. Применение формулы для радиуса

Для получения радиуса вписанной окружности, мы должны использовать следующую связь:

Подставляем данные в эту формулу. Мы уже знаем, что $P = 8\sqrt{3}$, и использовали ( ab\ sin(\alpha)