Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если А(-1;3)

Чтобы найти угол между лучом $ОА$ и положительной полуосью $Ох$, нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим точку $А(-1; 3)$, которая расположена в декартовой системе координат.

Шаг 1. Определение вектора $ОА$

Линия, соединяющая начало координат $О(0; 0)$ и точку $А(-1; 3)$, образует вектор $\vec{OA}$. Этот вектор можно записать как:

Таким образом, вектор $\vec{OA}$ имеет координаты $(-1, 3)$.

Шаг 2. Формула угла между двумя векторами

Чтобы найти угол $\theta$ между вектором $\vec{OA}$ и положительной полуосью $Ох$, нужно использовать формулу для угла между двумя векторами:

где:

• $\vec{OA} = (-1, 3)$,
• $\vec{OX} = (1, 0)$ — вектор вдоль положительной полуоси $Ох$,
• $\vec{OA} \cdot \vec{OX}$ — скалярное произведение векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OX}$,
• $|\vec{OA}|$ и $|\vec{OX}|$ — длины векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OX}$ соответственно.

Шаг 3. Вычисление скалярного произведения

Скалярное произведение $\vec{OA} \cdot \vec{OX}$ вычисляется по формуле:

Шаг 4. Вычисление длин векторов

Длину вектора $\vec{OA}$ можно найти по формуле:

Длину вектора $\vec{OX}$ можно вычислить как:

Шаг 5. Нахождение косинуса угла

Теперь подставим значения в формулу для $\cos \theta$: