Найти меньшую сторону параллелограмма если Его диагонали равны 14 и 16 а косинус угла между ними 2/7

Для нахождения меньшей стороны параллелограмма, используя информацию о его диагоналях и угле между ними, необходимо применить некоторые формулы из геометрии.

Дано:

• Диагонали параллелограмма: $d_1 = 14$ и $d_2 = 16$
• Косинус угла между диагоналями: $\cos(\alpha) = \frac{2}{7}$

Шаг 1: Формула для площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

Площадь параллелограмма можно выразить через длины его диагоналей и угол между ними. Формула для площади $S$ выглядит так:

где $\alpha$ — угол между диагоналями, $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

Используя косинус угла, можно найти синус этого угла через основное тригонометрическое тождество:

Подставляем $\cos(\alpha) = \frac{2}{7}$:

Таким образом, $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{45}}{7} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$.

Шаг 2: Подставляем значения в формулу для площади

Теперь можем подставить все известные значения в формулу для площади:

Сначала упрощаем:

Шаг 3: Найдем сторону параллелограмма

Площадь параллелограмма также можно выразить через его стороны и угол между ними:

где $a$ и $b$ — стороны параллелограмма, $\alpha$ — угол между ними. Из этого выражения можно найти сторону $a$, если принять, что $a \leq b$, то есть ищем меньшую сторону.

Подставляем все известные значения:

Умножаем обе части на 7 и делим на $3\sqrt{5}$:

Теперь, чтобы найти меньшую сторону, нужно решить систему, исходя из того, что $a$ и $b$ — это стороны параллелограмма, и они связаны с диагоналями через теорему о диагоналях параллелограмма:

Подставляем $d_1 = 14$ и $d_2 = 16$: