Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (1;6), В (-2;3), С (2;-1)

Для нахождения косинусов углов треугольника с вершинами A(1, 6), B(-2, 3), C(2, -1), нужно использовать формулы для косинусов углов между векторами, которые определяют стороны треугольника.

Шаг 1: Находим векторы сторон треугольника

Векторы сторон треугольника определяются разностью координат его вершин:

1. Вектор AB = B - A = (-2 - 1, 3 - 6) = (-3, -3)
2. Вектор BC = C - B = (2 - (-2), -1 - 3) = (4, -4)
3. Вектор CA = A - C = (1 - 2, 6 - (-1)) = (-1, 7)

Шаг 2: Находим косинусы углов между этими векторами

Для нахождения косинусов углов между двумя векторами можно использовать формулу:

где:

• $\vec{u} \cdot \vec{v}$ — скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$,
• $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ — длины векторов.

2.1. Косинус угла $\angle ABC$

Для нахождения угла между векторами AB и BC:

1. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot 4 + (-3) \cdot (-4) = -12 + 12 = 0$.
2. Длины векторов:
   • $|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$,
   • $|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Косинус угла $\angle ABC$:

Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что угол $\angle ABC$ прямой (90°).

2.2. Косинус угла $\angle BCA$

Для нахождения угла между векторами BC и CA:

1. Скалярное произведение $\vec{BC} \cdot \vec{CA} = 4 \cdot (-1) + (-4) \cdot 7 = -4 - 28 = -32$.
2. Длины векторов:
   • $|\vec{BC}| = 4\sqrt{2}$ (мы уже нашли),
   • $|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$