В треугольнике АВС стороны АВ ВС и АС равны соответственно 4 5 и 6 на стороне АС находится центр окружности касающейся сторон АВ и ВС найдите произведение длин отрезков на которые центр окружности делит сторону АС

Давайте решим задачу пошагово.

1. Условия задачи: У нас есть треугольник $ABC$ с длинами сторон:

   • $AB = 4$,
   • $BC = 5$,
   • $AC = 6$.

   На стороне $AC$ находится центр окружности, которая касается сторон $AB$ и $BC$. Задача — найти произведение длин отрезков, на которые центр окружности делит сторону $AC$.

2. Основные понятия: В задаче упоминается центр окружности, которая касается сторон треугольника. Это — вписанная окружность треугольника, а её центр называется инцентр. Инцентр лежит на пересечении бисектрис углов треугольника.

3. Как инцентр делит сторону $AC$: Инцентр делит каждую сторону треугольника на два отрезка, длины которых можно выразить через длины сторон треугольника. Эти отрезки соответствуют расстояниям от инцетора до точек касания вписанной окружности с треугольником.

   Для стороны $AC$ длины отрезков, на которые её делит инцентр, вычисляются по формуле:

   $$\text{Отрезок на } AC = s - a \quad \text{и} \quad \text{Отрезок на } AC' = s - b,$$

   где:

   • $a = AB = 4$,
   • $b = BC = 5$,
   • $c = AC = 6$,
   • $s$ — полупериметр треугольника, который вычисляется по формуле:
   $$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = 7.5.$$

4. Вычислим длины отрезков:

   • Один отрезок на $AC$ равен $s - b = 7.5 - 5 = 2.5$.
   • Другой отрезок на $AC$ равен $s - a = 7.5 - 4 = 3.5$.

5. Найдем произведение длин отрезков: Произведение длин отрезков, на которые инцентр делит сторону $AC$, равно:

   $$2.5 \times 3.5 = 8.75.$$

Ответ: Произведение длин отрезков, на которые центр окружности делит сторону $AC$, равно $8.75$.