докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Рассмотрим ситуацию, когда две прямые пересекаются третьей прямой, которую будем называть секущей. При этом на рисунке образуется восемь углов: по четыре в каждой из двух точек пересечения.

Теперь допустим, что накрест лежащие углы равны. Например, при пересечении секущей с двумя прямыми $a$ и $b$, один из углов, образованный при пересечении секущей с прямой $a$, равен углу, симметричному ему относительно секущей, но образованному при пересечении с прямой $b$.

Докажем, что в этом случае прямые $a$ и $b$ параллельны.

Обозначения и краткое напоминание:

• Прямые $a$ и $b$ пересекаются секущей $c$.

• При этом в точках пересечения образуются углы.

• Углы называются накрест лежащими, если они:

  • не прилежащие (то есть не образуют общую сторону),

  • находятся по разные стороны от секущей,

  • один — вверху у одной прямой, другой — внизу у другой прямой (или наоборот).

Доказательство от противного:

Допустим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Тогда они должны пересекаться в некоторой точке.

Рассмотрим треугольник, образованный этими двумя прямыми и секущей. Внутри любого треугольника сумма углов строго равна $180^\circ$. Но если накрест лежащие углы равны, то получаются дополнительные равенства углов, и сумма углов в таком треугольнике будет превышать 180°, что невозможно.

Это противоречие говорит о том, что наше предположение — прямые не параллельны — ложно.

Следовательно, если накрест лежащие углы равны, то прямые обязательно параллельны.

Или, другой способ (прямое доказательство на основе аксиомы Евклида):

В геометрии Евклида есть аксиома: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые пересекутся.

А теперь подумаем: если накрест лежащие углы равны, то, по свойствам углов, соответственные углы тоже равны, а внутренние односторонние углы в этом случае в сумме дают ровно $180^\circ$.

Значит, по формулировке обратной к аксиоме, такие прямые не пересекаются, то есть они параллельны.

Вывод:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые обязательно параллельны. Это следует как из логического противоречия при попытке представить их пересекающимися, так и из аксиом Евклидовой геометрии.