Решите уравнение: в)9^x-7*3^x-18=0

Для решения уравнения $9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0$, давайте преобразуем его таким образом, чтобы упростить решение.

1. Заметим, что $9 = 3^2$. То есть, $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$.

2. Подставим это в уравнение:

   $$3^{2x} - 7 \cdot 3^x - 18 = 0$$

3. Теперь введем замену: пусть $y = 3^x$. Тогда $3^{2x} = y^2$, и уравнение примет вид:

   $$y^2 - 7y - 18 = 0$$

4. Полученное уравнение — это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = -7$, $c = -18$.

5. Подставляем значения:

   $$y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1}$$ $$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$$ $$y = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2}$$ $$y = \frac{7 \pm 11}{2}$$

6. Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$y_2 = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

7. Теперь вспомним, что $y = 3^x$. Подставим найденные значения $y$ обратно:

   • Для $y_1 = 9$:

     $$3^x = 9 \quad \Rightarrow \quad 3^x = 3^2 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

   • Для $y_2 = -2$: $3^x = -2$ не имеет решений, так как выражение $3^x$ всегда положительно для любого $x$.

8. Следовательно, единственное решение уравнения — это $x = 2$.