Решите неравенство: х(4-х)<0

Для решения неравенства $x(4 - x) \geq 0$, давайте разобьем его на шаги.

1. Раскроем скобки:

   $$x(4 - x) = 4x - x^2$$

   Получаем неравенство:

   $$4x - x^2 \geq 0$$

2. Преобразуем его в стандартную форму:

   Переносим все в одну сторону:

   $$-x^2 + 4x \geq 0$$

   Умножаем обе стороны неравенства на $-1$, чтобы избавиться от минуса (помните, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется):

   $$x^2 - 4x \leq 0$$

3. Решим квадратное неравенство:

   Разделим на множители:

   $$x(x - 4) \leq 0$$

4. Находим корни:

   Уравнение $x(x - 4) = 0$ дает корни $x = 0$ и $x = 4$.

5. Исследуем знаки выражения на промежутках:

   Мы разделяем числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$. Проверим знак выражения $x(x - 4)$ на каждом из этих промежутков.

   • На промежутке $(-\infty, 0)$: оба множителя $x$ и $x - 4$ отрицательны, значит, произведение положительное.

   • На промежутке $(0, 4)$: $x$ положительный, а $x - 4$ отрицательный, значит, произведение отрицательное.

   • На промежутке $(4, +\infty)$: оба множителя $x$ и $x - 4$ положительные, значит, произведение положительное.

6. Определим решение:

   Нам нужно, чтобы произведение было меньше либо равно нулю, то есть $x(x - 4) \leq 0$. Это происходит на промежутке $[0, 4]$, включая сами точки 0 и 4, так как в этих точках выражение равно нулю.

7. Ответ:

   Решением неравенства является $x \in [0, 4]$.