Разложите выражение \(2x + y + y^2 - 4x^2\) на множители.

Давайте подробно разложим выражение:

Имеем:

Сначала переставим слагаемые так, чтобы удобнее было сгруппировать:

Вынесем минус из первых двух членов, чтобы получить положительный старший коэффициент у $x^2$:

Теперь разложим по группам. В первой группе $4x^2 - 2x$ вынесем $2x$ за скобки:

Во второй группе $y^2 + y$ вынесем $y$:

Обратите внимание, что $2x(2x - 1) = 2x(2x - 1)$, а $y(y + 1) = y(y + 1)$. Вынести общий множитель напрямую пока не получается. Попробуем изменить порядок для удобства:

Разложим квадратные выражения как разность квадратов для $-4x^2 + 2x$? Для этого вынесем $-1$ и перепишем:

На этом этапе выражение можно записать в виде смешанного произведения, но стандартной формы разложения на простые линейные множители через рациональные числа здесь не получится, так как выражение не является квадратным трёхчленом по одной переменной.

Если рассмотреть выражение как квадратный трёхчлен по $y$:

То можно применить формулу квадратного уравнения для разложения на множители:

То есть, окончательное разложение на множители через корни по $y$ будет:

Это разложение является точным и правильным.

Если хочется более компактно, можно записать как: