cos3x-sinx=корень из 3 (cosx-sin3x)

Решим уравнение:

\[\cos 3x-\sin x=\sqrt3(\cos x-\sin 3x)\]

Раскроем скобки и перенесём:

\[\cos 3x+\sqrt3\sin 3x=\sin x+\sqrt3\cos x\]

Используем формулы приведения:

\[\cos 3x+\sqrt3\sin 3x=2\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\]

\[\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\]

Получаем:

\[\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\]

Значит:

\[3x-\frac{\pi}{3}=\pm\left(\frac{\pi}{6}-x\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z\]

Ответ:

\[x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z\]

0 0 Пожаловаться