В треугольнике ABC на медиане AA1 взята точка M так, что AM:MA1 = 1:3. В каком отношении прямая BM делит сторону AC?

Пусть прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Нужно найти отношение $AN:NC$.

Так как $AA_1$ — медиана, то $A_1$ — середина стороны $BC$, значит:

Точка $M$ лежит на медиане $AA_1$, причём

Значит, вся медиана $AA_1$ состоит из $1+3=4$ равных частей, и

Рассмотрим треугольник $ACA_1$. В нём точка $M$ лежит на стороне $AA_1$, а прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Удобно решить через координаты.

Возьмём:

Пусть

Так как $A_1$ — середина $BC$, то

Поскольку $AM:MA_1=1:3$, точка $M$ делит отрезок $AA_1$ в отношении $1:3$, считая от $A$. Поэтому

Теперь найдём, где прямая $BM$ пересекает ось $AC$, то есть прямую $y=0$.

Точка на прямой $BM$ имеет вид:

Её $y$-координата равна:

Чтобы попасть на $AC$, нужно, чтобы $y$-координата была равна нулю:

Отсюда

значит,

Теперь найдём $x$-координату точки пересечения $N$:

В скобках:

Тогда