Решите неравенство x²(2-x)/(x²-10x+25) ≥ 0 и укажите наибольшее целое решение этого неравенства.

Решим неравенство:

Сначала разложим знаменатель:

Тогда неравенство принимает вид:

Важно: знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен, кроме точки $x=5$, где он равен нулю. Поэтому $x=5$ не входит в область определения.

Так как знаменатель положителен при всех допустимых $x$, знак дроби зависит только от числителя:

Рассмотрим множители:

Причём $x^2=0$ только при $x=0$, а при остальных $x$ этот множитель положителен.

Второй множитель:

Отсюда:

При $x=0$ числитель равен нулю, значит неравенство тоже выполняется. При $x=2$ числитель также равен нулю, поэтому $x=2$ входит в решение.

Получаем множество решений:

Наибольшее целое число из этого промежутка: