Y=sqrt4(2x-1)-cosx/sqrt6(4-x)+sqrt(2x^2-9x+4) Найдите область определения функции

sqrt4 это корень четвертой степени

Для того чтобы найти область определения функции $Y = \sqrt[4]{2x-1} - \frac{\cos x}{\sqrt{6}(4-x)} + \sqrt{2x^2 - 9x + 4}$, необходимо учесть следующие ограничения:

1. Корень четной степени ($\sqrt[4]{2x-1}$)
   Подкоренное выражение $2x-1$ должно быть больше или равно нулю, так как корень четной степени определен только для неотрицательных чисел:

   $$2x - 1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}.$$

2. Корень квадратный ($\sqrt{2x^2 - 9x + 4}$)
   Подкоренное выражение $2x^2 - 9x + 4$ также должно быть больше или равно нулю:

   $$2x^2 - 9x + 4 \geq 0.$$

   Решим квадратное неравенство методом дискриминанта:

   $$D = (-9)^2 - 4(2)(4) = 81 - 32 = 49.$$

   Корни уравнения:

   $$x_{1,2} = \frac{-(-9) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 7}{4}.$$

   Получаем $x_1 = 4$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.
   Знаки квадратного трёхчлена меняются на интервалах. Проверим промежутки:

   $$2x^2 - 9x + 4 \geq 0 \implies x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup [4, \infty).$$

3. Деление на ноль ($\frac{\cos x}{\sqrt{6}(4-x)}$)
   Для знаменателя $\sqrt{6}(4-x)$ нужно учесть два условия:

   • $\sqrt{6} \neq 0$, что всегда выполняется.
   • $4 - x \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

Итоговые ограничения

1. $x \geq \frac{1}{2}$ (из условия $\sqrt[4]{2x-1}$).
2. $x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup [4, \infty)$ (из условия $\sqrt{2x^2 - 9x + 4}$).
3. $x \neq 4$ (из условия знаменателя).

Пересекаем все ограничения:

• Первое ограничение сужает область до $x \geq \frac{1}{2}$.
• Второе ограничение даёт $x \in [4, \infty)$, но с учётом третьего условия исключаем точку $x = 4$.

Область определения: