угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30 градусов. Боковая сторона треугольника равна 22. Найдите площадь этого треугольника.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника с углом при вершине, равным 30 градусам, и боковой стороной 22, можно воспользоваться следующими шагами.

1. Определим необходимые элементы треугольника.

   Пусть треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC = BC = 22$. Угол при вершине $\angle ACB = 30^\circ$.

   Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса $CD$ (перпендикуляр к основанию) делит его пополам. Таким образом, основание $AB$ делится на два равных отрезка, каждый из которых равен $\frac{AB}{2}$.

2. Вычислим высоту треугольника.

   Треугольник $ACD$ — прямоугольный, где угол $\angle ACD = 90^\circ$, а угол $\angle ACB = 30^\circ$. Высота $CD$ является противолежащим катетом для угла 30 градусов.

   В прямоугольном треугольнике для угла 30 градусов известна следующая тригонометрическая зависимость:

   $$\sin(30^\circ) = \frac{CD}{AC}.$$

   Подставим значения:

   $$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \quad AC = 22.$$

   Получаем:

   $$\frac{1}{2} = \frac{CD}{22},$$

   откуда $CD = 11$.

3. Вычислим основание $AB$.

   В треугольнике $ACD$ можно использовать функцию косинуса для нахождения половины основания:

   $$\cos(30^\circ) = \frac{AD}{AC}.$$

   Из этого следует:

   $$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad AC = 22.$$

   Подставляем значения:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AD}{22},$$

   откуда $AD = 22 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 11\sqrt{3}$.

   Таким образом, полное основание $AB$ равно:

   $$AB = 2 \times AD = 2 \times 11\sqrt{3} = 22\sqrt{3}.$$

4. Вычислим площадь треугольника.

   Площадь треугольника вычисляется по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \times AB \times CD.$$

   Подставляем найденные значения:

   $$S = \frac{1}{2} \times 22\sqrt{3} \times 11.$$

   Упрощаем:

   $$S = \frac{1}{2} \times 242\sqrt{3} = 121\sqrt{3}.$$

Таким образом, площадь треугольника равна $121\sqrt{3}$ квадратных единиц.