Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Для доказательства того, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника, воспользуемся геометрическими свойствами ромба и прямоугольника.

1. Определение ромба. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Таким образом, все углы ромба не обязательно прямые, но противоположные углы равны между собой.

2. Обозначим ромб. Пусть $ABCD$ — ромб, где $A$, $B$, $C$, и $D$ — вершины ромба, а его стороны равны, то есть $AB = BC = CD = DA$.

3. Середины сторон. Обозначим середины сторон ромба как $M$, $N$, $P$, и $Q$, где:

   • $M$ — середина стороны $AB$,

   • $N$ — середина стороны $BC$,

   • $P$ — середина стороны $CD$,

   • $Q$ — середина стороны $DA$.

4. Докажем, что фигура $MNPQ$ является прямоугольником. Для этого нужно доказать, что в четырёхугольнике $MNPQ$ противоположные стороны параллельны и равны, а углы прямые.

   1. Параллельность противоположных сторон:
      В ромбе диагонали перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Середины сторон, по определению, лежат на прямых, которые соединяют точки, лежащие на противоположных сторонах ромба. Таким образом, каждую сторону ромба можно рассматривать как диагональ параллелограмма, образующего прямоугольник.

   2. Равенство противоположных сторон:
      Поскольку все стороны ромба равны, а середины сторон лежат на прямых, перпендикулярных этим сторонам, то расстояния между противоположными серединами сторон тоже равны. Это гарантирует, что противоположные стороны фигуры $MNPQ$ равны.

   3. Прямые углы:
      В ромбе диагонали пересекаются под прямыми углами. Поскольку $MNPQ$ — это фигура, образованная серединами сторон ромба, и диагонали ромба являются её диагоналями, то углы между диагоналями будут прямыми. Следовательно, углы в фигуре $MNPQ$ будут прямыми.

Таким образом, фигура $MNPQ$ является прямоугольником, поскольку в ней выполнены все условия для прямоугольника: противоположные стороны параллельны и равны, а углы прямые.

Итак, мы доказали, что середины сторон ромба действительно являются вершинами прямоугольника.