Дан квадрат, докажите, что середины его сторон являются вершинами другого квадрата. Как относятся радиусы окружностей, вписанных в эти квадраты и описанных окончаний.

Для доказательства того, что середины сторон квадрата являются вершинами другого квадрата, выполним следующие рассуждения:

1. Геометрическое доказательство

Рассмотрим квадрат $ABCD$ с центром $O$. Пусть $M, N, P, Q$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно.

• Середина стороны делит её на две равные части. Следовательно, точки $M, N, P, Q$ находятся на одинаковом расстоянии от центра квадрата $O$. Это гарантирует, что они образуют замкнутый контур.
• Углы между смежными сторонами исходного квадрата равны $90^\circ$. Поскольку середины соединяются прямыми, которые перпендикулярны диагоналям квадрата, получившийся контур также будет квадратом, только повернутым на $45^\circ$ относительно исходного.

Таким образом, $M, N, P, Q$ образуют вершины нового квадрата, повернутого относительно исходного.

2. Сравнение радиусов окружностей

Радиус вписанной окружности

• Радиус вписанной окружности исходного квадрата равен половине стороны квадрата: $r_1 = \frac{a}{2}$, где $a$ — сторона квадрата.
• Для нового квадрата стороны равны $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (диагональ каждой половины квадрата). Радиус его вписанной окружности будет равен $\frac{\text{сторону нового квадрата}}{2}$: $r_2 = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Радиус описанной окружности

• Радиус описанной окружности исходного квадрата равен половине диагонали квадрата: $R_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
• Радиус описанной окружности нового квадрата равен половине диагонали нового квадрата. Диагональ нового квадрата равна стороне исходного квадрата $a$ (т.к. это сторона исходного квадрата, из-за симметрии). Следовательно, $R_2 = \frac{a}{2}$.

3. Отношение радиусов

Для вписанных окружностей:

Для описанных окружностей:

Итог

• Середины сторон исходного квадрата действительно образуют вершины нового квадрата.
• Радиус вписанной окружности нового квадрата равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ от радиуса вписанной окружности исходного квадрата.
• Радиус описанной окружности нового квадрата также равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ от радиуса описанной окружности исходного квадрата.