Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Для того чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться теоремой о делении гипотенузы высотой прямоугольного треугольника.

1. Заданные данные:

   • Катеты треугольника относятся как 3:4.

   • Гипотенуза равна 50 мм.

2. Обозначения:
   Пусть катеты прямоугольного треугольника будут обозначены как $a$ и $b$. Из условия задачи знаем, что они относятся как 3:4. Тогда можно выразить их через одну переменную, например, $x$:

   $$a = 3x, \quad b = 4x.$$

3. Используем теорему Пифагора:
   Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется равенство:

   $$a^2 + b^2 = c^2,$$

   где $c$ — гипотенуза. Подставляем значения:

   $$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2.$$

   Упрощаем:

   $$9x^2 + 16x^2 = 2500,$$ $$25x^2 = 2500,$$ $$x^2 = 100,$$ $$x = 10.$$

4. Нахождение катетов:
   Теперь можем найти длины катетов:

   $$a = 3x = 3 \times 10 = 30 \, \text{мм}, \quad b = 4x = 4 \times 10 = 40 \, \text{мм}.$$

5. Деление гипотенузы высотой:
   Высота прямоугольного треугольника из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка, которые пропорциональны квадратам катетов. Пусть $h$ — длина высоты. Тогда отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, будут соотношены как:

   $$\frac{d_1}{d_2} = \frac{a^2}{b^2},$$

   где $d_1$ и $d_2$ — отрезки гипотенузы. Подставляем значения катетов:

   $$\frac{d_1}{d_2} = \frac{30^2}{40^2} = \frac{900}{1600} = \frac{9}{16}.$$

   Таким образом, отрезки гипотенузы делятся в отношении 9:16.

6. Нахождение длины отрезков:
   Обозначим длины этих отрезков через $d_1$ и $d_2$. Из условия задачи известно, что сумма этих отрезков равна длине гипотенузы, то есть:

   $$d_1 + d_2 = 50 \, \text{мм}.$$

   Так как отрезки относятся как 9:16, можно записать:

   $$d_1 = \frac{9}{25} \times 50 = 18 \, \text{мм}, \quad d_2 = \frac{16}{25} \times 50 = 32 \, \text{мм}.$$

Таким образом, гипотенуза делится высотой на отрезки длиной 18 мм и 32 мм.