Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 24 и 10. Найдите скалярное произведение векторов AO и BO.

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и формулой для скалярного произведения векторов.

1. Определим векторы AO и BO.

   Пусть точка $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$. Из свойств ромба известно, что диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Так как одна диагональ равна 24, а другая — 10, то длины отрезков $AO$ и $BO$ будут половинами этих длин:

   $$AO = \frac{24}{2} = 12, \quad BO = \frac{10}{2} = 5.$$

   Таким образом, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ можно рассматривать как радиус-векторы точек $A$ и $B$, исходящие из точки $O$.

2. Используем формулу для скалярного произведения.

   Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно вычислить по формуле:

   $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta,$$

   где $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$ — длины векторов, а $\theta$ — угол между ними.

   В нашем случае угол между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ равен 90° (так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом), значит, $\cos 90^\circ = 0$.

3. Рассчитаем скалярное произведение.

   Поскольку угол между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ равен 90°, то скалярное произведение этих векторов будет равно:

   $$\vec{AO} \cdot \vec{BO} = 12 \cdot 5 \cdot \cos 90^\circ = 12 \cdot 5 \cdot 0 = 0.$$

Ответ: скалярное произведение векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ равно 0.