Докажите, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Оформите как задачу.

Задача:
Докажите, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Решение:
Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, в которой $AB$ и $CD$ — основания, а $AD = BC$ — боковые стороны. По определению равнобедренной трапеции её боковые стороны равны, то есть $AD = BC$.

Нам нужно доказать, что:

Проведём доказательство.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBA$. Вместо этого проще и правильнее рассмотреть треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$, но на практике это может запутать. Лучше использовать симметричный подход.

2. Проведём в трапеции высоты из точек $C$ и $D$ на основание $AB$. Пусть они пересекают $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Эти высоты перпендикулярны к основанию, следовательно, $CM \perp AB$ и $DN \perp AB$, и полученные прямоугольные треугольники $CMD$ и $DNB$ равны по гипотенузе и катету:

   • $CM = DN$ (высоты),

   • $CD = AB$ (по условию: боковые стороны равны),

   • Углы при основании между основанием и боковыми сторонами одинаково наклонены.

3. Но есть более простое доказательство с использованием геометрической симметрии.

Поскольку трапеция равнобедренная, существует ось симметрии, проходящая через середины оснований $AB$ и $CD$. Это значит, что при отражении относительно этой оси трапеция совмещается сама с собой: точка $A$ перейдёт в точку $B$, а точка $D$ — в точку $C$. Отсюда следует, что:

Вывод:
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: углы при основании $AB$ равны ($\angle A = \angle B$), и углы при основании $CD$ также равны ($\angle D = \angle C$). Это следует из симметрии фигуры и равенства боковых сторон.