Пусть тупым является угол C, тогда сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол $C$ — тупой. Нам сказано, что сторона $AB$ равна радиусу описанной окружности этого треугольника. Требуется найти величину угла $C$.

Обозначим:

• $AB = c$ (противоположная сторона к углу $C$),

• $R$ — радиус описанной окружности.

В любом треугольнике длина стороны может быть связана с радиусом описанной окружности по формуле:

По условию задачи:

Подставим в формулу:

Разделим обе части на $R$ (предполагается, что $R \ne 0$):

Отсюда:

Теперь найдём угол $C$. Синус равен $\frac{1}{2}$ при двух значениях в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$: это $30^\circ$ и $150^\circ$. Но по условию угол $C$ — тупой, то есть больше $90^\circ$, а значит, нам подходит только:

Ответ: $\boxed{150^\circ}$.