Как найти катеты прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза 6 и площадь 9?

Обозначим катеты a и b.

1. Используем формулу площади прямоугольного треугольника

2. Применяем теорему Пифагора

3. Введём сумму $S=a+b$ и произведение $P=a\,b=18$.
   Тогда

Поскольку длины положительны, $S = 6\sqrt{2}$.

4. Катеты являются корнями квадратного уравнения

Дискриминант

значит корни совпадают:

5. Следовательно, $a=b=3\sqrt{2}$.

Проверка:

что удовлетворяет исходным условиям.

Ответ: оба катета равны $3\sqrt{2}$.