Гипотенуза прямоугольногольного треугольника равни 3 корня из 5 см, а разность катетов равна 3 см.найдите катеты и периметр прямоугольного треугольника

Для решения этой задачи давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, где $a > b$ (так как разность катетов равна 3 см и $a - b = 3$).

Из условия задачи нам известно, что гипотенуза $c = 3 \sqrt{5}$ см.

1. Используем теорему Пифагора

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется равенство:

Подставим известное значение гипотенузы $c = 3\sqrt{5}$:

Итак, получаем уравнение:

2. Используем разность катетов

Из условия задачи также известно, что разность катетов равна 3 см, то есть:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $a^2 + b^2 = 45$
2. $a - b = 3$

3. Решаем систему уравнений

Чтобы решить эту систему, выразим $a$ через $b$ из второго уравнения:

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

Раскроем скобки:

Упростим:

Переносим все в одну сторону:

Делим уравнение на 2:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два возможных значения:

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем $b = 3$.

4. Находим $a$

Теперь, зная $b = 3$, подставим это значение в выражение для $a$:

5. Периметр треугольника

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин его сторон:

Подставим значения:

Таким образом, катеты треугольника равны 6 см и 3 см, а периметр треугольника — $6 + 3 + 3\sqrt{5}$ см.