В прямоугольном треугольнике катет равен \( b \), а противолежащий ему угол — \( B \). Выразите периметр треугольника через \( b \) и \( B \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ (то есть $\angle C = 90^{\circ}$).

Принятая обозначения сторон и углов

По условию известны:

• катет $b = AC$;

• острый угол $B = \angle B$, который лежит напротив этого катета.

1. Выразим гипотенузу $c$ через $b$ и $B$

Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике (синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе):

2. Выразим второй катет $a$ через $b$ и $B$

По определению косинуса (смежный катет к гипотенузе):

Удобно заметить, что

поэтому

3. Периметр треугольника

Периметр $P$ есть сумма всех сторон:

Вынесем $b$ за скобки:

где $\csc B = 1/\sin B$.

При желании можно записать без специальных функций через синус и косинус:

Это выражение даёт полный ответ: оно связывает периметр прямоугольного треугольника только с заданным катетом $b$ и противолежащим ему острым углом $B$.