Докажите, что если у прямоугольника диагонали являются биссектрисами его углов, то он является квадратом.

Предположим, что у нас есть прямоугольник, у которого диагонали являются биссектрисами углов.

1. Свойства прямоугольника:
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, и все углы равны 90°. Диагонали прямоугольника пересекаются в его центре и делят прямоугольник на два равных треугольника.

2. Биссектрисы углов:
   Если диагонали являются биссектрисами углов, то они делят углы прямоугольника пополам. То есть, каждый угол прямоугольника (90°) делится пополам на два угла по 45°.

3. Рассмотрим пересечение диагоналей:
   Точки пересечения диагоналей прямоугольника находятся в центре прямоугольника и являются точками, через которые проходят биссектрисы углов. Поскольку диагонали делят углы прямоугольника пополам, то каждый угол на пересечении диагоналей будет составлять 45°, что возможно только в том случае, если диагонали находятся под одинаковыми углами относительно сторон прямоугольника.

4. Симметрия и равенство диагоналей:
   В прямоугольнике диагонали всегда равны между собой, но чтобы они также были биссектрисами углов, они должны располагаться таким образом, чтобы угол между ними был 45°. Это возможно только в том случае, если диагонали пересекаются под прямым углом, что является характерным свойством квадрата. В обычном прямоугольнике угол между диагоналями всегда меньше 90°.

5. Заключение:
   Таким образом, если у прямоугольника диагонали являются биссектрисами углов, то диагонали должны пересекаться под углом 90°, что приводит к тому, что прямоугольник является квадратом.