Найдите сторону равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса 4 см. Найдите площадь треугольника.

Чтобы найти сторону равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом 4 см, и его площадь, давайте рассмотрим необходимые формулы и шаги:

1. Сторона треугольника:
   В равностороннем треугольнике, вписанном в окружность, радиус окружности (R) связан с длиной стороны треугольника (a) по формуле:

   $$a = \sqrt{3} \cdot R$$

   Подставим радиус окружности R = 4 см:

   $$a = \sqrt{3} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \, \text{см}$$

   Таким образом, сторона треугольника будет равна $4\sqrt{3}$ см.

2. Площадь треугольника:
   Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}$$

   Подставим сторону $a = 4\sqrt{3}$ см:

   $$S = \frac{(4\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \, \text{см}^2$$

Итак, сторона равностороннего треугольника равна $4\sqrt{3}$ см, а его площадь — $12\sqrt{3}$ см².