Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна 4 корня из 3. Найти сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Давайте разберем задачу поэтапно:

1. Определим радиус окружности:

   • Известно, что треугольник, вписанный в окружность, является правильным, а сторона треугольника равна $4\sqrt{3}$.
   • Формула связи стороны правильного треугольника и радиуса окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона треугольника, $R$ — радиус окружности.
   • Подставляем $a = 4\sqrt{3}$: $$R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4.$$ Значит, радиус окружности $R = 4$.

2. Определим сторону квадрата, вписанного в окружность:

   • Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру окружности, то есть $2R$.
   • Подставляем $R = 4$, чтобы найти диаметр: $$\text{Диаметр} = 2 \cdot 4 = 8.$$
   • В правильном квадрате сторона $a$ связана с диагональю $d$ формулой: $d = a\sqrt{2}$.
   • Из этой формулы выразим $a$: $$a = \frac{d}{\sqrt{2}}.$$
   • Подставляем $d = 8$: $$a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}.$$

3. Ответ: Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна $4\sqrt{2}$.