Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность

Для решения этой задачи необходимо учитывать несколько ключевых геометрических фактов:

1. Периметр правильного треугольника: Правильный треугольник вписан в окружность, значит, его вершины лежат на окружности. Периметр правильного треугольника равен сумме длин его трёх сторон. Так как треугольник правильный, все его стороны равны. Пусть длина одной стороны треугольника будет $a$. Тогда периметр $P = 3a$. Из условия задачи мы знаем, что периметр треугольника равен 18 см, значит:

   $$3a = 18 \quad \Rightarrow \quad a = 6 \, \text{см}.$$

   Таким образом, длина стороны правильного треугольника составляет 6 см.

2. Диаметр окружности: Поскольку правильный треугольник вписан в окружность, его вершины лежат на окружности. Окружность называется описанной окружностью относительно треугольника. Радиус $R$ этой окружности можно выразить через сторону правильного треугольника по формуле:

   $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}.$$

   Подставляем значение $a = 6$:

   $$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, \text{см}.$$

   Таким образом, радиус окружности равен $2\sqrt{3}$ см. Диаметр окружности $D$ равен:

   $$D = 2R = 4\sqrt{3} \, \text{см}.$$

3. Квадрат, вписанный в окружность: Теперь нужно найти сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. Для квадрата, вписанного в окружность, диагональ квадрата является диаметром этой окружности. Пусть сторона квадрата равна $s$. Диагональ квадрата можно выразить через его сторону по теореме Пифагора:

   $$\text{Диагональ квадрата} = s\sqrt{2}.$$

   Но мы знаем, что диагональ квадрата равна диаметру окружности $D$, который равен $4\sqrt{3}$ см. Таким образом, получаем уравнение:

   $$s\sqrt{2} = 4\sqrt{3}.$$

   Разделим обе стороны на $\sqrt{2}$:

   $$s = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \, \text{см}.$$

Ответ: сторона квадрата, вписанного в ту же окружность, равна $2\sqrt{6}$ см.