В цилиндр вписан шар. Объём цилиндра равен 60. Найти объём шара.

Для решения задачи нужно использовать формулы для объёма шара и цилиндра, а также информацию о том, что шар вписан в цилиндр. Это означает, что шар касается основания цилиндра и его боковой поверхности.

Пусть радиус основания цилиндра — $r$, высота цилиндра — $h$, объём цилиндра — $V_{\text{цил}}$.

1. Формула для объёма цилиндра:

   $$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$$

   Из условия задачи, объём цилиндра равен 60:

   $$\pi r^2 h = 60$$

2. Поскольку шар вписан в цилиндр, его диаметр равен диаметру основания цилиндра. Следовательно, радиус шара равен радиусу основания цилиндра: $R = r$.

3. Формула для объёма шара:

   $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi R^3$$

   Так как $R = r$, объём шара можно записать как:

   $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3$$

4. Для того, чтобы найти объём шара, нужно выразить радиус $r$ через объём цилиндра. Используя формулу для объёма цилиндра, можно найти высоту цилиндра через радиус:

   $$h = \frac{60}{\pi r^2}$$

5. Поскольку высота цилиндра равна диаметру шара (так как шар касается основания и боковой поверхности цилиндра), имеем:

   $$h = 2r$$

6. Подставим это значение высоты в выражение для объёма цилиндра:

   $$\pi r^2 (2r) = 60$$ $$2 \pi r^3 = 60$$ $$r^3 = \frac{60}{2 \pi} = \frac{30}{\pi}$$ $$r = \sqrt[3]{\frac{30}{\pi}}$$

7. Теперь можно вычислить объём шара:

   $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3$$

   Подставим значение $r^3$:

   $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi \times \frac{30}{\pi}$$ $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \times 30 = 40$$

Ответ: объём шара равен 40.