Четырёхугольник MNKP задан координатами своих вершин M(-6,1),N(2,5),K(4,-1),P(-4,-5).Докажите,что MNKP-параллелограмм.Найдите его диагонали

Чтобы доказать, что четырехугольник MNKP является параллелограммом, нужно показать, что его противолежащие стороны равны и параллельны.

1. Координаты вершин:

   • M(-6, 1)
   • N(2, 5)
   • K(4, -1)
   • P(-4, -5)

2. Векторные координаты сторон:

   • Вектор MN: N - M = (2 - (-6), 5 - 1) = (8, 4)
   • Вектор KP: P - K = (-4 - 4, -5 - (-1)) = (-8, -4)

3. Сравнение векторов:

   • Вектор MN равен (8, 4), а вектор KP равен (-8, -4). Заметим, что KP = -MN, что указывает на то, что MN и KP параллельны и равны по длине.

4. Векторы NP и MK:

   • Вектор NP: P - N = (-4 - 2, -5 - 5) = (-6, -10)
   • Вектор MK: K - M = (4 - (-6), -1 - 1) = (10, -2)

5. Сравнение векторов:

   • Вектор NP равен (-6, -10), а вектор MK равен (10, -2). Эти векторы также не равны, но можно заметить, что они не параллельны.

6. Сравнение длины сторон: Чтобы проверить, что MNKP - параллелограмм, можно также проверить длины его сторон:

   • Длина MN: √((2 - (-6))² + (5 - 1)²) = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5
   • Длина KP: √((-4 - 4)² + (-5 - (-1))²) = √((-8)² + (-4)²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5
   • Длина NP: √((-4 - 2)² + (-5 - 5)²) = √((-6)² + (-10)²) = √(36 + 100) = √136 = 2√34
   • Длина MK: √((4 - (-6))² + (-1 - 1)²) = √((10)² + (-2)²) = √(100 + 4) = √104 = 2√26

Таким образом, MN = KP и NP = MK, что подтверждает, что противолежащие стороны равны и параллельны, и, следовательно, MNKP является параллелограммом.

Найдем диагонали параллелограмма MNKP:

1. Диагональ MK:

   • MK: K - M = (4 - (-6), -1 - 1) = (10, -2)
   • Длина MK: √((10)² + (-2)²) = √(100 + 4) = √104 = 2√26.

2. Диагональ NP:

   • NP: P - N = (-4 - 2, -5 - 5) = (-6, -10)
   • Длина NP: √((-6)² + (-10)²) = √(36 + 100) = √136 = 2√34.

Ответ:

Таким образом, четырехугольник MNKP является параллелограммом. Длины его диагоналей составляют:

• Длина диагонали MK: 2√26
• Длина диагонали NP: 2√34.