Найдите длину окружности, описанной около квадрата, и площадь круга, вписанного в этот же квадрат, если сторона квадрата равна 22 см.

Для того чтобы решить задачу, нужно использовать несколько геометрических свойств квадрата и круга.

1. Длина окружности, описанной около квадрата:

   Окружность, описанная около квадрата, касается всех четырех вершин квадрата. Центр этой окружности совпадает с центром квадрата, а радиус окружности равен половине диагонали квадрата.

   Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора. Если сторона квадрата равна 22 см, то диагональ $d$ будет равна:

   $$d = \sqrt{22^2 + 22^2} = \sqrt{484 + 484} = \sqrt{968} \approx 31.11 \, \text{см}$$

   Радиус окружности будет половиной диагонали:

   $$R = \frac{d}{2} = \frac{31.11}{2} \approx 15.56 \, \text{см}$$

   Теперь, чтобы найти длину окружности, используем формулу для длины окружности $C = 2\pi R$:

   $$C = 2\pi \times 15.56 \approx 97.7 \, \text{см}$$

2. Площадь круга, вписанного в квадрат:

   Круг, вписанный в квадрат, касается всех четырех сторон квадрата. Диаметр такого круга равен стороне квадрата. Площадь круга можно найти по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга. Радиус вписанного круга равен половине стороны квадрата:

   $$r = \frac{22}{2} = 11 \, \text{см}$$

   Теперь находим площадь круга:

   $$S = \pi \times 11^2 = \pi \times 121 \approx 3.14 \times 121 = 380.13 \, \text{см}^2$$

Ответ:

• Длина окружности, описанной около квадрата, примерно равна 97.7 см.

• Площадь круга, вписанного в квадрат, примерно равна 380.13 см².