Диагональ прямоугольника равна 20 см, а его периметр равен 56 см. Найти площадь прямоугольника.

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, нам нужно сначала найти его стороны.

1. Обозначим стороны прямоугольника:
   Пусть длина прямоугольника — это $a$, а ширина — $b$.

2. Используем формулу для диагонали:
   Диагональ прямоугольника можно вычислить по теореме Пифагора:

   $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

   Из условия задачи известно, что диагональ равна 20 см, то есть:

   $$\sqrt{a^2 + b^2} = 20$$

   Квадратируем обе части уравнения:

   $$a^2 + b^2 = 400$$

3. Используем формулу для периметра:
   Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон:

   $$P = 2(a + b)$$

   Из условия задачи известно, что периметр равен 56 см:

   $$2(a + b) = 56$$

   Разделим обе части на 2:

   $$a + b = 28$$

4. Решим систему уравнений:
   У нас есть два уравнения:

   $$a^2 + b^2 = 400$$ $$a + b = 28$$

   Из второго уравнения выразим $b$ через $a$:

   $$b = 28 - a$$

   Подставим это в первое уравнение:

   $$a^2 + (28 - a)^2 = 400$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2 + (784 - 56a + a^2) = 400$$

   Упростим:

   $$2a^2 - 56a + 784 = 400$$

   Переносим 400 влево:

   $$2a^2 - 56a + 384 = 0$$

   Разделим на 2:

   $$a^2 - 28a + 192 = 0$$

   Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$a = \frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4(1)(192)}}{2(1)}$$ $$a = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 768}}{2}$$ $$a = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$a = \frac{28 \pm 4}{2}$$

   Таким образом, получаем два возможных значения для $a$:

   $$a = \frac{28 + 4}{2} = 16 \quad \text{или} \quad a = \frac{28 - 4}{2} = 12$$

   Соответственно, $b$ будет равно:

   • Если $a = 16$, то $b = 28 - 16 = 12$.

   • Если $a = 12$, то $b = 28 - 12 = 16$.

5. Найдем площадь прямоугольника:
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

   $$S = a \cdot b$$

   Подставим значения сторон:

   $$S = 16 \cdot 12 = 192$$

Ответ: площадь прямоугольника равна 192 см².