В тетраэдре DABC ребро CD перпендикулярно к плоскости ABC. AC=BC=10 см, AB=16 см, CD=6 см. Найдите линейный угол двугранного угла CABD.

Для решения задачи нужно найти линейный угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ в тетраэдре $DABC$. Задано, что $CD$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а также известны длины рёбер: $AC = BC = 10$ см, $AB = 16$ см, $CD = 6$ см.

1. Представление плоскостей: Плоскости $ABC$ и $ABD$ определяются тремя точками. Плоскость $ABC$ содержит точки $A$, $B$ и $C$, а плоскость $ABD$ — точки $A$, $B$ и $D$.

2. Векторные представления: Для вычисления угла между плоскостями, нужно найти нормали к этим плоскостям. Нормали можно получить с помощью векторного произведения двух векторов, лежащих в каждой плоскости.

   • Для плоскости $ABC$ возьмём векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Эти векторы будут:

     $$\vec{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (16, 0, 0)$$ $$\vec{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (0, 10, 0)$$

     Векторное произведение этих двух векторов:

     $$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (16, 0, 0) \times (0, 10, 0) = (0, 0, 160)$$

     Нормаль к плоскости $ABC$ — это вектор $\vec{n_1} = (0, 0, 160)$.

   • Для плоскости $ABD$ нормаль будет вычисляться через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Поскольку точка $D$ находится на расстоянии 6 см по перпендикуляру от плоскости $ABC$, её координаты можно задать как $D(0, 0, 6)$. Тогда вектор $\vec{AD}$ будет:

     $$\vec{AD} = (0, 0, 6)$$

     Векторное произведение $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

     $$\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AD} = (16, 0, 0) \times (0, 0, 6) = (0, -96, 0)$$

     Нормаль к плоскости $ABD$ — это вектор $\vec{n_2} = (0, -96, 0)$.

3. Вычисление угла между плоскостями: Угол между плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами. Косинус угла между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$