Даны координаты вершин треугольника АВС: А (–6; 1), В (2; 4), С (2; –2). Доказать, что треугольник АВС равнобедренный. Найдите длину высоты треугольника АВС, проведённую из вершины А.

Для того чтобы доказать, что треугольник АВС является равнобедренным, необходимо показать, что два из его сторон равны по длине. Для этого рассчитаем длины всех сторон треугольника с помощью формулы для расстояния между двумя точками на плоскости:

1. Длины сторон треугольника:

• Длина стороны $AB$:

  $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

• Длина стороны $BC$:

  $$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$$

• Длина стороны $AC$:

  $$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$

Мы видим, что стороны $AB$ и $AC$ имеют одинаковую длину, то есть $AB = AC$. Следовательно, треугольник АВС является равнобедренным.

2. Нахождение длины высоты, проведённой из вершины А:

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание (в данном случае основание — это сторона $BC$).

Для нахождения длины высоты из вершины А, используем формулу для расстояния от точки до прямой. Уравнение прямой, проходящей через точки $B (2; 4)$ и $C (2; -2)$, можно найти следующим образом:

Так как абсциссы точек $B$ и $C$